Question

如图：点E、D分别是正三角形、四边形、正五边形中以C点为顶点的相邻两边上的点，点BE=CD，且BD交AE于P点．
（1）分别求图中∠APD的度数，并证明其中的一种．
（2）你能把结论推广到正n边形吗？（直接写答案）．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质得出AB=BC，∠ABC=∠C=60°，证△ABE≌△BCD，推出∠BAE=∠CBD，根据三角形的外角性质推出∠APD=∠BAE+∠ABD=∠ABC=60°，同理其它情况也是∠APD等于其中一个角；
（2）正四边形时，同样能推出∠APD=∠ABC=90°，正五边形时，∠APD=∠ABC=

(5-2)×180°

5

=108°，正六边形时，∠APD=∠ABC=

(6-2)×180°

6

=120°，依此类推得出正n边形时，∠APD=∠ABC=

(n-2)×180°

n

．

解答：（1）正三角形时，∠APD=60°，正四边形时，∠APD=90°，证五边形时，∠APD=108°，
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
∵在△ABE和△BCD中

AB=BC ∠ABE=∠C BE=CD

，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠BAE=∠CBD，
∴∠APD=∠BAE+∠ABD=∠CBD+∠ABD=∠ABC=60°，
即∠APD=60°．

（2）解：正n边形时，∠APD=

(n-2)×180°

n

．

点评：本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，正方形性质等知识点的应用，主要考查学生的推理能力和理解能力，能根据题意得出规律是解此题的关键．