Question

若S=|x-3|+|x-4|+|x-5|+…+|x-2013|，求S的最小值，并写出当S取最小值时x的取值．

Answer 1

考点：绝对值函数的最值

专题：

分析：此题可以用数形结合来解题：x为数轴上的一点，|x-3|+|x-4|+|x-5|+…+|x-2013|，表示：点x到数轴上的2011个点（3、…、2011）的距离之和，由于原式的绝对值共有2011项，最中间的那一项是|x-1008|，所以只需取x=1008，它们的和就可以获得最小值．

解答：解：由于原式的绝对值共有2011项，最中间的那一项是|x-1008|，所以只需取x=1008，它们的和就可以获得最小值，
原式可以展开为：
S=|x-3|+|x-4|+|x-5|+…+|x-2013|
=|1008-3|+|1008-4|+…+|1008-1008|+|1009-1008|+…+|2013-1008|
=1005+…+1+0+1+…+1005
=2×（1+2+3+…+1005）
=1011030．

点评：此题主要考查了绝对值的性质以及利用数形结合求最值问题，利用已知得出x=1008时，|x-3|+|x-4|+|x-5|+…|x-2013|能够取到最小值是解题关键．