Question

设α为整数，若存在整数b和c，使得（x+α）（x-15）-25=（x+b）（x+c）成立，求α可取的值．

Answer 1

解：由原方程得：x²-（15-α）x-15α-25=0，
视其为关于α的一次方程，整理得α（x-15）=-x²+15x+25．
易知x≠15，∴α==-x+．
因为α、x均为整数，讨论见下表：

x-15	-25	-5	5	25
x	-10	10	20	40
α	9	-15	-15	-39

α取值为：9，-15，-39，经检验符合题意．
分析：此题可转化为：当α为何值时，方程（x+α）（x-15）-25=0有两个整数根．
点评：本题主要考查了一元二次方程的一般形式及其整数根与有理根的知识点，解答此题时采用的是分离参数法，它适合于参数与方程的根均是整数，且参数较易于分离的情况．如此题变形为α=?（x），然后利用函数的性质求解，这是一种应用较广泛的方法．