Question

已知抛物线y=x²-mx+m-2；
（1）求证：抛物线y=x²-mx+m-2与x轴有两个不同的交点；
（2）若m是整数，抛物线y=x²-mx+m-2与x轴交于整数点，求m的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B．在坐标轴上是否存在一点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：令y=0，则x²-mx+m-2=0．
因为△=m²-4m+8
=（m-2）²+4＞0，
所以此抛物线与x轴有两个不同的交点．
（2）因为关于x的方程x²-mx+m-2=0的根为，
由m为整数，当（m-2）²+4为完全平方数时，此抛物线与x轴才有可能交于整数点．
设（m-2）²+4=n²（其中n为整数），
则[n+（m-2）][n-（m-2）]=4
因为n+（m-2）与n-（m-2）的奇偶性相同，
所以或，
解得或；
经过检验，当m=2时，方程x²-mx+m-2=0有整数根，且（m-2）²+4为完全平方数，
所以m=2．

（3）当m=2时，此二次函数解析式为y=x²-2x=（x-1）²-1，则顶点坐标为（1，-1）．
抛物线与x轴的交点为O（0，0）、B（2，0）
当MA=MB时，
设抛物线的对称轴与x轴交于点M₁，则M₁（1，0）．
在直角三角形AM₁O中，由勾股定理，得．
由抛物线的对称性可得，．
又，即OA²+AB²=OB²．
所以△ABO为等腰直角三角形．
则M₁A=M₁B．
所以M₁（1，0）为所求的点．
若满足条件的点M₂在y轴上时，设M₂坐标为（0，y），
过A作AN⊥y轴于N，连接AM₂、BM₂，则M₂A=M₂B．
由勾股定理，有；，
即（y+1）²+1²=y²+2²．
解得y=1．
所以M₂（0，1）为所求的点．
所以M点坐标为（1，0）或（0，1）．
当BA=BM时，M点坐标为（2+，0）或（2-，0）．
当BA=AM时，M点坐标为（0，0）．
综上所述，满足条件的M点的坐标为（1，0）或（0，1）、（0，0）、（2+，0）、（2-，0）．
分析：（1）根据△=m²-4m+8=（m-2）²+4＞0，得出此抛物线与x轴有两个不同的交点；
（2）根据求根公式得出（m-2）²+4为完全平方数时，此抛物线与x轴才有可能交于整数点，进而得出m，n的值，即可得出答案；
（3）根据m=2，分别讨论当MA=MB时，当BA=BM时，当BA=AM时，利用勾股定理得出M点的坐标即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及勾股定理以及根的判别式和等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论得出答案是解题关键．