Question

已知过原点O的两直线与圆心为M（0，4），半径为2的圆相切，切点分别为P、Q，PQ交y轴于点K，抛物线经过P、Q两点，顶点为N（0，6），且与x轴交于A、B两点．

（1）求点P的坐标；
（2）求抛物线解析式；
（3）在直线y=nx+m中，当n=0，m≠0时，y=m是平行于x轴的直线，设直线y=m与抛物线相交于点C、D，当该直线与⊙M相切时，求点A、B、C、D围成的多边形的面积（结果保留根号）．

Answer 1

考点：二次函数综合题,解一元二次方程-直接开平方法,待定系数法求二次函数解析式,等腰三角形的性质,勾股定理,切线的性质,切线长定理

专题：代数几何综合题

分析：（1）由切线的性质可得∠MPO=90°，根据勾股定理可求出PO，然后由面积法可求出PK，然后运用勾股定理可求出OK，就可得到点P的坐标．
（2）可设顶点为（0，6）的抛物线的解析式为y=ax²+6，然后将点P的坐标代入就可求出抛物线的解析式．
（3）直线y=m与⊙M相切有两种可能，只需对这两种情况分别讨论就可求出对应多边形的面积．

解答：解：（1）如图1，

∵⊙M与OP相切于点P，
∴MP⊥OP，即∠MPO=90°．
∵点M（0，4）即OM=4，MP=2，
∴OP=2

3

．
∵⊙M与OP相切于点P，⊙M与OQ相切于点Q，
∴OQ=OP，∠POK=∠QOK．
∴OK⊥PQ，QK=PK．
∴PK=

PM•PO

OM

=

2×2 3

4

=

3

．
∴OK=

OP2-PK2

=3．
∴点P的坐标为（

3

，3）．

（2）如图2，

设顶点为（0，6）的抛物线的解析式为y=ax²+6，
∵点P（

3

，3）在抛物线y=ax²+6上，
∴3a+6=3．
解得：a=-1．
则该抛物线的解析式为y=-x²+6．

（3）当直线y=m与⊙M相切时，
则有

.

m-4

.

=2．
解得；m₁=2，m₂=6．
①m=2时，如图3，

则有OH=2．
当y=2时，解方程-x²+6=2得：x=±2，
则点C（2，2），D（-2，2），CD=4．
同理可得：AB=2

6

．
则S_梯形ABCD=

1

2

（DC+AB）•OH=

1

2

（4+2

6

）×2=4+2

6

．
②m=6时，如图4，
此时点C、点D与点N重合．

S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×2

6

×6=6

6

．
综上所述：点A、B、C、D围成的多边形的面积为4+2

6

或6

6

．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、圆的切线的性质、切线长定理、等腰三角形的性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，有一定的综合性，难度适中，容易漏掉多边形为三角形的这一情况．