Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若

AE

=

DE

，DF=2，求

AD

的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD．根据切线的判定定理，只需证DF⊥OD即可；
（2）根据弧长公式，应先求半径和圆心角的度数．根据等弧所对的圆心角相等可得∠5=120°；∠3=30°．根据三角函数可求半径的长，再计算求解．

解答：（1）证明：连接OD．
∵AB=AC，∴∠C=∠B．                                  （1分）
∵OD=OB，∴∠B=∠1．
∴∠C=∠1．                                           （2分）
∴OD∥AC，∴∠2=∠FDO．                               （3分）
∵DF⊥AC，∴∠2=90°，∴∠FDO=90°，
即FD⊥OD．
∴FD是圆O的切线．                                     （4分）

（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．                     （5分）
∵AC=AB，∴∠3=∠4．                                 （6分）
∴

ED

=

DB

，∵

AE

=

DE

，∴

DE

=

DB

=

AE

．               （7分）
∴∠B=2∠4，∴∠B=60°，∠5=120°，
∴△ABC是等边三角形，∠C=60°．                       （8分）
在Rt△CFD中，sinC=

DF

CD

，CD=

2

sin60°

=

2

3 2

=

4

3

3

，
∴DB=

4

3

3

，AB=BC=

8

3

3

，∴AO=

4

3

3

．                    （9分）
∴l

AD

=

nπR

180

=

8 3

9

π．                                 （10分）

点评：此题考查了切线的判定，弧长公式的运用等知识点．证明经过圆上一点的直线是圆的切线，常作的辅助线是连接圆心和该点，证明直线和该半径垂直．