【题目】如图1,在矩形ABCD中,BC>AB,∠BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F,点O是BD的中点,直线OK∥AF,交AD于点K,交BC于点G.
(1)求证:①△DOK≌△BOG;②AB+AK=BG;
(2)若KD=KG,BC=4﹣ .
①求KD的长度;
②如图2,点P是线段KD上的动点(不与点D、K重合),PM∥DG交KG于点M,PN∥KG交DG于点N,设PD=m,当S△PMN= 时,求m的值.
【答案】
(1)
证明:①∵在矩形ABCD中,AD∥BC
∴∠KDO=∠GBO,∠DKO=∠BGO
∵点O是BD的中点
∴DO=BO
∴△DOK≌△BOG(AAS)
②∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠ABC=90°,AD∥BC
又∵AF平分∠BAD
∴∠BAF=∠BFA=45°
∴AB=BF
∵OK∥AF,AK∥FG
∴四边形AFGK是平行四边形
∴AK=FG
∵BG=BF+FG
∴BG=AB+AK
(2)
解:①由(1)得,四边形AFGK是平行四边形
∴AK=FG,AF=KG
又∵△DOK≌△BOG,且KD=KG
∴AF=KG=KD=BG
设AB=a,则AF=KG=KD=BG= a
∴AK=4﹣ ﹣ a,FG=BG﹣BF= a﹣a
∴4﹣ ﹣ a= a﹣a
解得a=
∴KD= a=2
②过点G作GI⊥KD于点I
由(2)①可知KD=AF=2
∴GI=AB=
∴S△DKG= ×2× =
∵PD=m
∴PK=2﹣m
∵PM∥DG,PN∥KG
∴四边形PMGN是平行四边形,△DKG∽△PKM∽△DPN
∴ ,即S△DPN=( )2
同理S△PKM=( )2
∵S△PMN=
∴S平行四边形PMGN=2S△PMN=2×
又∵S平行四边形PMGN=S△DKG﹣S△DPN﹣S△PKM
∴2× = ﹣( )2 ﹣( )2 ,即m2﹣2m+1=0
解得m1=m2=1
∴当S△PMN= 时,m的值为1
【解析】(1)①先根据AAS判定△DOK≌△BOG,②再根据等腰三角形ABF和平行四边形AFKG的性质,得出结论BG=AB+AK;(2)①先根据等量代换得出AF=KG=KD=BG,再设AB=a,根据AK=FG列出关于a的方程,求得a的值,进而计算KD的长;②先过点G作GI⊥KD,求得S△DKG的值,再根据四边形PMGN是平行四边形,以及△DKG∽△PKM∽△DPN,求得S△DPN和S△PKM的表达式,最后根据等量关系S平行四边形PMGN=S△DKG﹣S△DPN﹣S△PKM , 列出关于m的方程,求得m的值即可.
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,下列结论: ①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4;
②4a+2b+c<0;
③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1;
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0.
其中正确的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】如图,小明家的住房平面图呈长方形,被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形.若只知道原住房平面图长方形的周长,则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
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【题目】已知反比例函数y= 的图象在二四象限,一次函数为y=kx+b(b>0),直线x=1与x轴交于点B,与直线y=kx+b交于点A,直线x=3与x轴交于点C,与直线y=kx+b交于点D.
(1)若点A,D都在第一象限,求证:b>﹣3k;
(2)在(1)的条件下,设直线y=kx+b与x轴交于点E与y轴交于点F,当 = 且△OFE的面积等于 时,求这个一次函数的解析式,并直接写出不等式 >kx+b的解集.
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【题目】如图,“中国海监50”正在南海海域A处巡逻,岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上,岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上,已知点C在点B的北偏西60°方向上,且B、C两地相距120海里.
(1)求出此时点A到岛礁C的距离;
(2)若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去,当到达点A′时,测得点B在A′的南偏东75°的方向上,求此时“中国海监50”的航行距离.(注:结果保留根号)
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【题目】已知抛物线c1的顶点为A(﹣1,4),与y轴的交点为D(0,3).
(1)求c1的解析式;
(2)若直线l1:y=x+m与c1仅有唯一的交点,求m的值;
(3)若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2 , 平行于x轴的直线记作l2:y=n.试结合图形回答:当n为何值时,l2与c1和c2共有:①两个交点;②三个交点;③四个交点;
(4)若c2与x轴正半轴交点记作B,试在x轴上求点P,使△PAB为等腰三角形.
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【题目】如图,正方形ABCD中,BC=2,点M是边AB的中点,连接DM,DM与AC交于点P,点E在DC上,点F在DP上,且∠DFE=45°.若PF= ,则CE= .
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【题目】如图,在ABCD中,AC,BD相交于点O,点E是OA的中点,连接BE并延长交AD于点F,已知S△AEF=4,则下列结论:① = ;②S△BCE=36;③S△ABE=12;④△AEF~△ACD,其中一定正确的是( )
A.①②③④
B.①④
C.②③④
D.①②③
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