如图1.直线l1:y=-2x+m与x轴.y轴分别相交于A.B两点.将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°得到△COD.过点A.B.D作抛物线．(1)若m=4.求抛物线的解析式,的条件下.设抛物线的对称轴与CD相交于点E.点Q在抛物线对称轴上.点F在直线l1上.当以点C.E.Q.F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时.求点Q的坐标,(3)①如图3.若G为AB中点.H为CD中点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．如图1，直线l₁：y=-2x+m（m＞0）与x轴，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°得到△COD，过点A，B，D作抛物线．
（1）若m=4，求抛物线的解析式；
（2）如图2，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴与CD相交于点E，点Q在抛物线对称轴上，点F在直线l₁上，当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）①如图3，若G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM，若OM=$\sqrt{10}$，求直线l₁的解析式；
②当$\sqrt{2}$≤m≤4$\sqrt{2}$时，请直接写出△HOG外接圆圆心在整个运动过程中所走过的路线长．

分析（1）首先求出A（2，0）、B（0，4）、D（-4，0）坐标，设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-2），把（0，4）代入求出a即可解决问题．
（2）如图2中，分两种情形①过B平行于CD的直线交对称轴于Q₁，此时四边形ECBQ₁是平行四边形．②直线AB与对称轴的交点M（-1，6），Q₁关于M的对称点Q₂（-1． $\frac{17}{2}$），作Q₂F₂∥EC交直线AB于F₂，易知四边形ECQ₂F₂是平行四边形，分别求出点Q坐标即可．
（3）如图3中，连接OG、OH．首先证明△HOG是等腰直角三角形，推出OM=HM=GM，OG=OH=$\sqrt{2}$OM．①由OM=$\sqrt{10}$，推出OG=2$\sqrt{5}$，AB=4$\sqrt{5}$，由B（0，m），A（$\frac{m}{2}$，0），可得m²+（$\frac{m}{2}$）²=（4$\sqrt{5}$）²，解方程即可解决问题．②由①可知，△HOG是等腰直角三角形，△HOG的外心为点M，当$\sqrt{2}$≤m≤4$\sqrt{2}$时，点M在射线OM上运动，∠COM是定值，
求出m=$\sqrt{2}$和4$\sqrt{2}$时的OM定值，即可解决问题．

解答解：（1）如图1中，

m=4时，直线l₁的解析式为y=-2x+4，
令x=0则y=4，令y=0则x=2，
∴A（2，0），B（0，4），
∵△DOC是由△AOB旋转得到，
∴OC=OA=2，OD=OB=4，
∴D（-4，0），C（0，2）
设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-2），把（0，4）代入得到a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4．

（2）如图2中，

y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+$\frac{9}{2}$，
∴对称轴为x=1，
设直线CD解析式为y=kx+b，则有 $\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$．
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线CD解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，
∴E（-1，$\frac{3}{2}$），
①过B平行于CD的直线交对称轴于Q₁，此时四边形ECBQ₁是平行四边形．
∵直线CD解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，B（0，4），
∴直线BQ₁解析式为y=$\frac{1}{2}$x+4，
∴Q₁（-1，$\frac{7}{2}$），
②直线AB与对称轴的交点M（-1，6），Q₁关于M的对称点Q₂（-1． $\frac{17}{2}$），
作Q₂F₂∥EC交直线AB于F₂，易知四边形ECQ₂F₂是平行四边形，
综上所述，当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，点Q的坐标（-1，$\frac{7}{2}$）或（-1，$\frac{17}{2}$）．

（3）如图3中，连接OG、OH．

∵G为AB中点，H为CD中点，∠COD=∠AOB=90°，
∴OG=$\frac{1}{2}$AB，OH=$\frac{1}{2}$CD，
∵AB=CD，
∴OG=OH，OH=DH，
∵OG=GA，OH=DH，
∴∠GOA=∠OAB，∠HOD=∠HDO，
∵∠ODC=∠OBA，∠OBC+∠OAB=90°
∴∠HOD+∠AOG=90°，
∴∠HOG=90°，
∴△HOG是等腰直角三角形．
∵HM=MG，
∴OM=HM=GM，OG=OH=$\sqrt{2}$OM．
①∵OM=$\sqrt{10}$，
∴OG=2$\sqrt{5}$，
∴AB=4$\sqrt{5}$，
∵B（0，m），A（$\frac{m}{2}$，0），
∴m²+（$\frac{m}{2}$）²=（4$\sqrt{5}$）²，
∵m＞0，
∴m=8，
∴直线l₁的解析式为y=-2x+8．

②由①可知，△HOG是等腰直角三角形，
∴△HOG的外心为点M，
当$\sqrt{2}$≤m≤4$\sqrt{2}$时，点M在射线OM上运动，∠COM是定值，
当m=$\sqrt{2}$时，B（0，$\sqrt{2}$），A（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
∴AB=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴OG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OG=$\frac{\sqrt{5}}{4}$．
当m=4$\sqrt{2}$时，同理可得OM=$\sqrt{5}$，
∴当$\sqrt{2}$≤m≤4$\sqrt{2}$时，请直接写出△HOG外接圆圆心在整个运动过程中所走过的路线长=$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{4}$=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$．

点评本题考查二次函数综合题、待定系数法、平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论，不能漏解，属于中考压轴题．

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