Question

如图，正三角形ABC的边长为3+．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．

Answer 1

解：（1）如图①，正方形E′F′P′N′即为所求．

（2）设正方形E′F′P′N′的边长为x，
∵△ABC为正三角形，
∴AE′=BF′=x．
∵E′F′+AE′+BF′=AB，
∴x+x+x=3+，
∴x=，即x=3-3，
（没有分母有理化也对，x≈2.20也正确）

（3）如图②，连接NE、EP、PN，则∠NEP=90°．
设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），
它们的面积和为S，则NE=，PE=n．
∴PN²=NE²+PE²=2m²+2n²=2（m²+n²）．
∴S=m²+n²=PN²，
延长PH交ND于点G，则PG⊥ND．
在Rt△PGN中，PN²=PG²+GN²=（m+n）²+（m-n）²．
∵AD+DE+EF+BF=AB，即m+m+n+n=+3，化简得m+n=3．
∴S=[3²+（m-n）²]=+（m-n）²
①当（m-n）²=0时，即m=n时，S最小．
∴S_最小=；
②当（m-n）²最大时，S最大．
即当m最大且n最小时，S最大．
∵m+n=3，
由（2）知，m_最大=3-3．
∴S_最大=[9+（m_最大-n_最小）²]
=[9+（3-3-6+3）²]
=99-54…．
（S_最大≈5.47也正确）
综上所述，S_最大=99-54，S_最小=．
分析：（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答图①所示；
（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的边长；
（3）设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），求得面积和的表达式为：S=+（m-n）²，可见S的大小只与m、n的差有关：
①当m=n时，S取得最小值；
②当m最大而n最小时，S取得最大值．m最大n最小的情形见第（1）（2）问．
点评：本题以位似变换为基础，综合考查了正三角形、正方形、勾股定理、直角三角形边角性质等重要知识点，有一定的难度．本题（1）（2）（3）问之间互相关联，逐级推进，注意发现并利用好其中的联系．第（3）问的要点是求出面积和S的表达式，然后针对此表达式进行讨论，在求S最大值的过程中，利用了第（1）（2）问的结论．