Question

如图，△ABC内接于⊙O，CD平分△ABC的外角∠BCM，交⊙O于点D，连接AD，BD．
（1）求证：AD=BD；
（2）连接DO，并延长交BC于点E
①求证：∠ADO=∠BDO；
②若AB=6，AD=3

10

，C为

AD

的中点，求OE的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）由CD平分△ABC的外角∠BCM得到∠MCD=∠DCB，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得∠DCB=∠DAB，∠MCD=∠DBA，则∠DAB=∠DBA，于是可得到结论；
（2）①直接根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论；
②延长DO交AB于F，连结OC交AD于P，作EH⊥AD于H，根据等腰三角形外心的性质得到DF垂直平分AB，则AF=AB=3，在Rt△ADF中，根据勾股定理求出DF的长，由C为

AD

的中点，可知OC是线段AD的垂直平分线，故可得出DP的长，根据△DOP∽△DAF，可知

OD

AD

=

DP

DF

，故可得出OD、OF的长，根据点E为△ABC的内心，可知EH=EF，在Rt△DPO中，根据勾股定理求出OP的长，再由OP∥EH可知△DOP∽△DEH，根据

OD

DE

=

OP

EH

即可得出结论．

解答：（1）证明：∵CD平分△ABC的外角∠BCM，
∴∠MCD=∠DCB，
∵∠DCB=∠DAB，∠MCD=∠DBA，
∴∠DAB=∠DBA，
∴AD=BD；

（2）①证明：∵DA=DB，
∴DF垂直平分AB，
∴∠ADO=∠BDO；

②解：延长DO交AB于F，连结OA、OC交AD于P，作EH⊥AD于H，如图，
∵DA=DB，
∴DF垂直平分AB，
∴AF=

1

2

AB=3，
在Rt△ADF中，
∵AD=3

10

，AF=3，
∴DF=

AD2-AF2

=

(3 10 )2-32

=9，
∵C为

AD

的中点，
∴OC是线段AD的垂直平分线，
∴DP=

AD

2

=

3 10

2

，
∴△DOP∽△DAF，
∴

OD

AD

=

DP

DF

，即

OD

3 10

=

3 10 2

9

，解得OD=5，
∴OA=OD=5，
∴OF=DF-OD=9-5=4，
∵C为弧AD的中点，
∴∠ABC=∠DBC，
∴点E为△ABC的内心，
∴AE平分∠DAB，
∴EH=EF，
在Rt△DPO中，OP=

OD2-DP2

=

52-( 3 10 2 )2

=

10

2

，
∵OP∥EH，
∴△DOP∽△DEH，
∴

OD

DE

=

OP

EH

，即

5

5+OE

=

10 2

4-OE

，
∴OE=5-

10

．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到圆周角定理、勾股定理、垂径定理以及相似三角形的判定与性质，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半是解答此题的关键．