Question

（2012•桂林）如图，等圆⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，⊙O₁经过⊙O₂的圆心，顺次连接A、O₁、B、O₂．
（1）求证：四边形AO₁BO₂是菱形；
（2）过直径AC的端点C作⊙O₁的切线CE交AB的延长线于E，连接CO₂交AE于D，求证：CE=2O₂D；
（3）在（2）的条件下，若△AO₂D的面积为1，求△BO₂D的面积．

Answer 1

分析：（1）根据⊙O₁与⊙O₂是等圆，可得AO₁=O₁B=BO₂=O₂A，利用四条边都相等的四边形是菱形可判定出结论；
（2）根据已知得出△ACE∽△AO₂D，进而得出

DO2

EC

=

AO2

AC

=

1

2

，即可得出答案；
（3）首先证明△ACD∽△BO₂D，得出

DB

AD

=

BO2

AC

=

1

2

，AD=2BD，再利用等高不等底的三角形面积关系得出答案即可．

解答：证明：（1）∵⊙O₁与⊙O₂是等圆，
∴AO₁=O₁B=BO₂=O₂A，
∴四边形AO₁BO₂是菱形；

（2）∵四边形AO₁BO₂是菱形，
∴∠O₁AB=∠O₂AB，
∵CE是⊙O₁的切线，AC是⊙O₁的直径，
∴∠ACE=∠AO₂C=90°，
∴△ACE∽△AO₂D，

DO2

EC

=

AO2

AC

=

1

2

，
即CE=2DO₂；

（3）∵四边形AO₁BO₂是菱形，
∴AC∥BO₂
∴△ACD∽△BO₂D，
∴

DB

AD

=

BO2

AC

=

1

2

，
∴AD=2BD，
∵S△AO2D=1，
∴S△O2DB=

1

2

，

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及三角形面积关系和菱形判定等知识，熟练利用相似三角形的判定得出△ACE∽△AO₂D是解题关键．