Question

4．已知二次函数y=-x²-x+2的图象与x轴分别交于A、B两点（如图所示），与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，点P的坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 先求出AB两点的坐标，然后求出直线AC的解析式，最后求出直线AC与对称轴的交点坐标即为所求．

解答 解：当y=0时，0=x²-x-2，
解得：x₁=-2，x₂=1
∴A（-2，0），B（1，0），
当x=0时，y=2，
∴C（0，2）
∴对称轴为：x=-$\frac{1}{2}$，
当点P是其对称轴上一动点，PB+PC取得最小值时，根据两点之间线段最短，直线AC与对称轴的交点即为所求，
设直线AC的解析式为：y=kx+b，根据题意得
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y=x+2，
它与x=-$\frac{1}{2}$交于点（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）
∴P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
故答案为：（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查了点的坐标和待定系数法以及线段和最小值问题，建立模型解决最小值问题是解决问题的关键．