Question

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{4}{9}$x²+4分别与x轴、y轴交于A，B两点．
（1）直接写出A、B两点的坐标和抛物线对称轴的表达式．
（2）把抛物线y=-$\frac{4}{9}$x²+4向右平移，设平移后A、B的对应点分别为C、D，当直线CD恰与以AB为直径的⊙M相切时，平移停止，求出平移后的抛物线解析式；
（3）在（2）的条件下，点P为平移后抛物线对称轴上任意的一点，连结PC，将PC绕点P逆时针旋转90°，当点C恰好在落在平移后的抛物线上时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）分别令x=0，y=0，即可求出点A，B的坐标，由抛物线b=0，可知对称轴为y轴；
（2）根据相切，可知AB、CD距离是$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，利用平行四边形的面积，求出AC的长度，利用抛物线平移即可求出平移后的解析式；
（3）根据题意，可知△PNC≌△C′QP，利用全等三角形的对应线段相等，用含n的式子表示出点C′的坐标，由于点C′在抛物线上，将其坐标代入抛物线解析式，求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线解析式为：y=$-\frac{4}{9}{x}^{2}+4$，
∴对称轴为y轴，
令y=0，得：$-\frac{4}{9}{x}^{2}+4$=0，解得：x=±3，
∵点A在x轴的正半轴上，
∴点A（3，0），
令x=0，得：y=4，
∴点B的坐标为（0，4）；

（2）由OA=3，OB=4，可得AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵CD与⊙M相切，
∴点B到CD的距离d等于$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
连接BD，如图1，
∴S_{平行四边形ABCD}=AB•d=AC×4，
∴AC=$\frac{25}{8}$，
∴移动后的抛物线解析式为：y=$-\frac{4}{9}（x-\frac{25}{8}）^{2}+4$；

（3）如图2，设P（$\frac{25}{8}$，n），
过点C′Q⊥PD，设对称轴与x轴交于点N．
∴△PNC≌△C′QP，
∴C′Q=PN，PQ=NC，
∵抛物线y=$-\frac{4}{9}（x-\frac{25}{8}）^{2}+4$与x轴的交点为（$\frac{1}{8}$，0），（$\frac{49}{8}$，0），
∴C′Q=PN=n，PQ=NC=3，
∴C′（$\frac{25}{8}$+n，n+3），
∵C′（$\frac{25}{8}$+n，n+3）在抛物线y=$-\frac{4}{9}（x-\frac{25}{8}）^{2}+4$上，
∴n+3$-\frac{4}{9}（x-\frac{25}{8}）^{2}+4$，解得：n₁=$\frac{3}{4}$，n₂=-3，
∴P₁（$\frac{25}{8}$，$\frac{3}{4}$），P₂（$\frac{25}{8}$，-3）．

点评 本题主要考查二次函数及旋转的图形变形，解决第（3）小题时，能够找到线段旋转后，有两个三角形全等，进而确定出点C′的坐标是解决此题的关键，解决此类问题要灵活运用前面学过的知识．