Question

如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，BO₂切⊙O₁于点B，BO₂的延长线交⊙O₂于点D，DA的延长线交⊙O₁于点C．
（1）证明：DB⊥BC；
（2）如果AC=3AD，求∠C的度数；
（3）在（2）的情况下，若⊙O₂的半径为6，求四边形O₁O₂CD的面积．

Answer 1

（1）证明：连接AB，∵BC是⊙O₁的直径，
∴BA⊥CD，
所以BD是⊙O₂的直径．
又∵BD是⊙O₁的切线，所以DB⊥BC．

（2）解：∵AC=3AD；
∴AD=DC，
∵BD²=DA•DC=DC²，
∴BD=DC，
∴∠C=30°．

（3）解：设⊙O₁、⊙O₂的半径分别为r₁、r₂．
∵⊙O₂的半径为6，
∴AB=6，
∴r₁=6，
∴AC=18，
∴AD=6，
∵O₁O₂是△BCD的中位线，O₁O₂=DC=12，
AB=3，
∴S_梯形O1O2CD=（24+12）×3=54．
分析：（1）连接AB，可证得BA⊥CD，由BC是⊙O₁的切线，根据切线的性质推出DB⊥BC；
（2）由AC=3AD；得AD=DC，由切割线定理得出BD=DC，则∠C=30°；
（3）先求出⊙O₁的半径，AB、CD的长，由三角形的中位线定理求得O₁O₂的长，再求四边形O₁O₂CD的面积．
点评：本题考查了切线的性质、切割定理和三角形的中位线定理，难度较大．