Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB=BC=4AD，E是AB上的一点，DE⊥EC．求证：CE平分∠BCD．

Answer 1

分析：通过证明Rt△AED∽Rt△BCE得到：

AD

BE

=

AE

BC

，则AD•BC=BE•AE．所以根据已知条件和图形中相关线段间的和差关系得到AD•4AD=（4AD-AE）•AE，易求点E为AB的中点．
设DC的中点为F，连结EF，根梯形中位线定理可以得到EF∥BC且EF=FC．所以由等腰三角形的性质和平行线的性质得到∠4=∠6，∠4=∠5．故∠5=∠6，即CE平分∠BCD．

解答：证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，DE⊥EC，
∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°．
∴∠3=∠2，
∴Rt△AED∽Rt△BCE．
∴

AD

BE

=

AE

BC

，
∴AD•BC=BE•AE．
又∵AB=BC=4AD，
∴AE+BE=AB=BC=4AD，
∴AD•4AD=（4AD-AE）•AE，即（AE-2AD）²=0．
∴AE=2AD=

1

2

AB，即E为AB的中点．
设DC的中点为F，连结EF，则EF∥BC且EF=FC．
∴∠4=∠6，∠4=∠5．
∴∠5=∠6，即CE平分∠BCD．

点评：本题综合考查了直角梯形，相似三角形的判定与性质．在求∠3=∠2时，也可以直接利用“同角的余角相等”得到该结论．