Question

如图1，两个直角三角形拼成一个四边形ABCD，其中∠B=∠D=90°，AD=BC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）△ABC不动，△ADC沿CA方向平移，重新标注字母后如图2，割掉Rt△AEG和Rt△CFH后，得到一个正方形DGBH，若AD=18，DF=12，求正方形DGBH的边长．

Answer 1

考点：矩形的判定,全等三角形的判定与性质,正方形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）首先利用HL证得Rt△ABC≌Rt△CDA，从而得到∠ACB=∠CAD，进一步得到AD∥BC，从而判定四边形ABCD是平行四边形，证得四边形ABCD为矩形；
（2）设DG=BG=x，根据GE∥DF，得到△AGE∽△ADF，从而列出有关x的方程求得x的值即可．

解答：（1）证明：∵在Rt△ABC和Rt△CDA中，

AD=BC AC=CA

∴Rt△ABC≌Rt△CDA，
∴∠ACB=∠CAD，
∴AD∥BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD为矩形；

（2）解：设DG=BG=x，
∵GE∥DF，
∴△AGE∽△ADF，
∴

AG

AD

=

GE

DF

，
即：

18-x

18

=

x-12

12

，
解得：x=

72

5

．
答：正方形DGBH的边长

72

5

．

点评：本题考查了矩形的判定，题目中还渗透了方程的数学思想，解题的关键是了解矩形的判定方法，难度中等．