Question

如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的角平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____________.

Answer 1

3

在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作EN⊥AB于N，交AD于M，连接BM，BE，BE交AD于O，根据两点之间线段最短和垂线段最短得出此时BM+MN最小，求出E和B关于AD对称，求出BM+MN=EN，求出EN，即可求出答案．
解：在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作EN⊥AB于N，交AD于M，连接BM，BE，BE交AD于O，则BM+MN最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），

∵AD平分∠CAB，AE=AB，
∴EO=OB，AD⊥BE，
∴AD是BE的垂直平分线（三线合一定理），
∴E和B关于直线AD对称，
∴EM=BM，
即BM+MN=EM+MN=EN，
∵EN⊥AB，
∴∠ENA=90°，
∵∠CAB=60°，
∴∠AEN=30°，
∵AE=AB=6，
∴AN=AE=3，
在△AEN中，由勾股定理得：EN=
即BM+MN的最小值是．
故答案为：．