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    如图，抛物线y=-（x-1）2+4的顶点为A，与x轴相交于B、C两点，直线y=-2x+6经过A、C两点，且点C的坐标为（3，0），连接OA．
    （1）求出点B的坐标和直线OA的解析式．
    （2）直线y=m（0＜m＜4）分别与AO、AC交于点E和F，若将△AEF沿EF折叠，设折叠后的△A'EF与△AOC重叠部分的面积为S．
    ①用含m的代数式表示线段EF的长．
    ②试求S与m的函数关系式．且当m为何值时，S有最大值？
    （3）设直线y=m与y轴交于点Q，则在抛物线上是否存在这样的点P，使以点Q、P、C、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标．

    【答案】分析：（1）由抛物线的解析式可得到抛物线的对称轴解析式，而点B、C关于抛物线对称轴对称，而点C坐标已知，则点B坐标可求；
    抛物线的解析式直接写成了顶点式，则点A的坐标可得，利用待定系数法即可得到直线OA的解析式．
    （2）①直线OA、AC的解析式已知，令它们的函数值为m，即可得到点E、F的坐标，进而能求出线段EF的长；
    ②分两种情况考虑：
    1、2≤m＜4时，△A′EF在△OAC内部，它们的重叠部分是整个△A′EF，而△A′EF是由△AEF折叠所得，所以它们的面积相等，可据此思路求解；
    2、0＜m＜2时，△A′EF与△OAC的重叠部分是一个梯形，可先求出梯形的两底长，而高易知（即m），则面积可求．
    （3）由于平行四边形的四个顶点顺序没有明确，所以要分两种情况讨论：
    ①线段QP是平行四边形的对角线；由于平行四边形是中心对称图形，所以此种情况下，点Q、P关于线段BC的中点对称，即点Q、P的横坐标关于抛物线对称轴对称，联立抛物线解析式不难得到点P的坐标；
    ②线段QP是平行四边形的边；已知BC=4，那么将点Q向左或向右平移4个单位后，必为点P，所以此时点P的横坐标为4或-4，代入抛物线解析式中即可得到点P的坐标．
    解答：解：（1）由抛物线y=-（x-1）2+4知：顶点A（1，4），对称轴 x=1；
    ∵点B、C关于抛物线对称轴对称，且C（3，0），
    ∴B（-1，0）；
    设直线OA的解析式为 y=kx，代入点A的坐标，得：k=4；
    则直线OA：y=4x．

    （2）①直线OA：y=4x中，当y=m时，x=；
    则点E（，m），同理可求得F（，m）；
    故EF=-=．
    ②当点A′在x轴上时，m=2，所以分两种情况：
    1、2≤m＜4时，△A′EF在△AOC内部，它们的重叠部分是△A′EF；
    S=S△AEF=××（4-m）=（4-m）2；
    由于2≤m＜4在对称轴左侧，所以当m=2，S有最大值，且：
    Smax=（4-2）2=；
    2、0＜m＜2时，△A′EF与△AOC的重叠部分是梯形MNFE（如右图）；
    GH=m，AH=4，则 AG=A′G=4-m，A′H=A′G-GH=4-m-m=4-2m；
    在Rt△AOH中，OH=1，AH=4，∴tan∠OAH=tan∠EA′G=，同理可得：tan∠FA′G=tan∠CAH=；
    ∴MH=A′H×tan∠EA′G=（4-2m）×=1-，HN=A′H×tan∠FA′G=（4-2m）×=2-m，MN=MH+HN=3-；
    S=S梯形MNFE=（EF+MN）GH=×（3-+3-）×m=-m2+3m=-（m-）2+2；
    则当m=时，S有最大值，且Smax=2；
    综上，S=，且当m=时，S有最大值，且最大值为2．

    （3）由（1）知：B（-1，0）、C（3，0），则 BC=4；分两种情况讨论：
    ①当QP为平行四边形的对角线时，点Q、P关于BC的中点对称（因为平行四边形是中心对称图形，且对称中心为对角线的交点）；
    故点P的横坐标为2，代入抛物线y=-（x-1）2+4中，得y=-（2-1）2+4=3；
    则P1（2，3）；
    ②当QP为平行四边形的边时，则点P的横坐标为4或-4；
    当x=4时，y=-（x-1）2+4=-（4-1）2+4=-5；
    当x=-4时，y=-（x-1）2+4=-（-4-1）2+4=-21；
    则P2（4，-5）、P3（-4，-21）；
    综上，存在符合条件的点P，且坐标为（2，3）、（4，-5）、（-4，-21）．
    点评：此题主要考查了函数解析式的确定、轴对称图形的性质、图形面积的求法以及平行四边形的判定和性质等综合知识．最后一题中，平行四边形的各顶点排序没有明确，是此题容易漏解的地方，一定要注意进行分类讨论．
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    26、已知：如图，抛物线C1，C2关于x轴对称；抛物线C1，C3关于y轴对称．抛物线C1，C2，C3与x轴相交于A、B、C、D四点；与y相交于E、F两点；H、G、M分别为抛物线C1，C2，C3的顶点．HN垂直于x轴，垂足为N，且|OE|＞|HN|，|AB|≠|HG|
    （1）A、B、C、D、E、F、G、H、M9个点中，四个点可以连接成一个四边形，请你用字母写出下列特殊四边形：菱形
    AHBG
    ；等腰梯形
    HGEF
    ；平行四边形
    EGFM
    ；梯形
    DMHC
    ；（每种特殊四边形只能写一个，写错、多写记0分）
    （2）证明其中任意一个特殊四边形；
    （3）写出你证明的特殊四边形的性质．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，抛物线交x轴于点A（-2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，4）．
    （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
    （2）若直线y=x交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC．试判断△EBC的形状，并加以证明；
    （3）设P为直线MN上的动点，过P作PF∥ED交直线MN上方的抛物线于点F．问：在直线MN上是否存在点P，使得以P，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，抛物线的顶点坐标为M（1，4），与x轴的一个交点是A（-1，0），与y轴交于点B，直线x=1交x轴于点N．
    （1）求抛物线的解析式及点B的坐标；
    （2）求经过B、M两点的直线的解析式，并求出此直线与x轴的交点C的坐标；
    （3）若点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请你探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使精英家教网以P为圆心的圆经过点A，并且与直线BM相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，-3）精英家教网．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=-x+m过点C，交y轴于D点．
    （1）求抛物线的函数表达式；
    （2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；
    （3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

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    精英家教网如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴两交点是A（-1，0），B（3，0），则如图可知y＜0时，x的取值范围是（　　）
    A、-1＜x＜3B、3＜x＜-1C、x＞-1或x＜3D、x＜-1或x＞3

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