Question

（1）边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图1所示阴影部分），则这个风筝的面积是______．
（2）如图2，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是______．

Answer 1

解：（1）如图，设B′C′与CD相交于点E，
在Rt△ADE和Rt△AB′E，，
∴Rt△ADE≌Rt△AB′E（HL），
∴∠EAB′=∠EAD，
∵旋转角为30°，
∴∠BAB′=30°，
∴∠EAD=（90°-30°）=30°，
在Rt△ADE中，ED=ADtan30°=1×=，
∴这个风筝的面积=2×S_△ADE=2××1×=；

（2）延长AB′，∵旋转角为45°，
∴延长AB′经过点C，
∴△OCB′是等腰直角三角形，
设OD=OB′=x，
则OC=OB′=x，
∴CD=x+x=1，
解得x==-1，
∴四边形AB′OD的周长=2（1+-1）=2．
故答案为：（1），（2）2．
分析：（1）设B′C′与CD相交于点E，然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△AB′E全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAB′=∠EAD，再根据旋转角求出∠BAB′=30°，再解直角三角形求出ED的长，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解；
（2）延长AB′，根据正方形的对角线平方一组对角与旋转角是45°可知AB′经过点C，然后判定△OCB′是等腰直角三角形，然后设OD=OB′=x，在Rt△OCB′中，根据等腰直角三角形的性质列式计算求出x，从而得解．
点评：本题考查了旋转的性质，主要利用了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，（2）根据正方形的性质与旋转角判断出AB′的延长线过点C是解题的关键．