Question

如图，边长为6的正方OABC的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合），EF⊥CE，且与正方形外角平分线AC交于点P．
（1）当点E坐标为（3，0）时，证明CE=EP；
（2）如果将上述条件“点E坐标为（3，0）”改为“点E坐标为（t，0）”，结论CE=EP是否仍然成立，请说明理由；
（3）在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，用t表示点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）方法一：在OC上截取OH=OE，可得△OEH是等腰直角三角形，然后求出∠CHE=135°，且CH=EA，再根据AG是正方形外角平分线可以求出∠EAP=135°，从而得到∠CHE=∠EAP，再根据EF⊥CE推出∠ECO=∠PED，然后利用“角边角”证明△CHE和△EAP全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
方法二：过点P作PD⊥x轴于点D，根据AG是正方形外角平分线可得△ADP是等腰直角三角形，设PD=x，用x表示出ED，再根据EF⊥CE推出∠ECO=∠PED，从而得到△CEO和△EPD相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出x的值，即可得证；
（2）方法一：与（1）求法相同；
方法二：与（1）同理求出PD的长度，即可得解；
（3）设点M的坐标为（0，y），根据点的坐标利用勾股定理分别表示出BM、ME、PE、PB的平方，再根据平行四边形的对边相等利用一组对边列出方程求解，用t表示出y，然后代入另一组进行验证，相等则能使四边形BMEP是平行四边形，否则不能使四边形BMEP是平行四边形．

解答：（1）证明：方法一：如图1①，在OC上截取OH=OE，则△OEH是等腰直角三角形，
∠CHE=180°-45°=135°，
∵CH=OC-OH=6-3=3，EA=OA-OE=6-3=3，
∴CH=EA，
∵AG是正方形外角平分线，
∴∠EAP=90°+45°=135°，
∴∠CHE=∠EAP=135°，
∵EF⊥CE，
∴∠CEO+∠PED=180°-90°=90°，
又∵∠ECO+∠CEO=90°，
∴∠ECO=∠PED，
在△CHE和△EAP中，

∠CHE=∠EAP=135° CH=EA ∠ECO=∠PED

，
∴△CHE≌△EAP（ASA），
∴CE=EP；
方法二：如图1②，过点P作PD⊥x轴于点D，
∵AG是正方形外角平分线，
∴△ADP是等腰直角三角形，
设PD=x，则AD=x，
∵点E坐标为（3，0），正方形的边长为6，
∴AE=6-3=3，
∴ED=3+x，
∵EF⊥CE，
∴∠CEO+∠PED=180°-90°=90°，
又∵∠ECO+∠CEO=90°，
∴∠ECO=∠PED，
又∠COE=∠PDE=90°，
∴△CEO∽△EPD，
∴

CO

ED

=

OE

PD

，
即

6

3+x

=

3

x

，
解得x=3，
∴PD=OE=3，ED=OC=6，
故，根据勾股定理可得CE=EP；

（2）解：CE=EP仍然成立．
理由如下：
方法一：同（1）可求∠CHE=∠EAP=135°，∠ECO=∠PED，
又∵CH=OC-OH=6-t，EA=OA-OE=6-t，
∴CH=EA，
在△CHE和△EAP中，

∠CHE=∠EAP=135° CH=EA ∠ECO=∠PED

，
∴△CHE≌△EAP（ASA），
∴CE=EP；
方法二：当点E的坐标为（t，0）时，与（1）同理，

6

6-t+x

=

t

x

，
整理得，t²-tx+6x-6t=0，
即（t-x）（t-6）=0，
∵点E是OA边上的点（不与点A重合），
∴t≠6，
∴t-x=0，
解得x=t，
∴PD=OE=t，ED=6-t+t=6=OC，
根据勾股定理可得CE=EP；

（3）解：如图2，∵点E（t，0），
∴PE²=CE²=CO²+OE²=36+t²，
PB²=t²+（6-t）²，
设点M的坐标为（0，y），
则ME²=t²+y²，BM²=6²+（6-y）²，
∵四边形BMEP是平行四边形，
∴PE²=BM²，
即36+t²=6²+（6-y）²，
解得y₁=6-t，y₂=6+t，
当y₁=6-t时，ME²=t²+y²=t²+（6-t）²=PB²，
∴ME=PB，
∴当点M（0，6-t）时，四边形BMEP是平行四边形，
当y₂=6+t时，ME²=t²+y²=t²+（6+t）²≠PB²，
∴ME≠PB，
∴当点M（0，6+t）时，四边形BMEP不是平行四边形，
综上所述，y轴上存在点M（0，6-t）时，四边形BMEP是平行四边形．

点评：本题综合考查了一次函数，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的对边相等，（3）根据平行四边形的对边相等列出方程有技巧，要掌握．