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(1997•广西)已知抛物线y=-x2+bx-12与x轴相交于A(m,0)、B(n,0)两点,其中m、n满足(m-1)(n-1)-5=0(m≠n).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)画出函数的图象与对称轴,设Q是抛物线的对称轴上的任意一点,以Q为圆心,QB长为半径作圆,过坐标原点O作⊙Q的切线OC,C为切点,求OC的长;
(3)特别地,要使切点C′恰好在抛物线上,应如何确定点C′的位置和圆心Q′的位置?简述你的作法并在图中把⊙Q′与切线OC′作出来(要求用尺规作图,保留作图痕迹,写作法,但不用证明).
分析:(1)依题意知m、n是方程-x2+bx-12=0的两根,由根与系数的关系可得出m+n及mn的值,再由m、n满足(m-1)(n-1)-5=0(m≠n)可求出b的值,进而得出抛物线的解析式;
(2)由(1)知,抛物线的解析式是y=-x2+8x-12,解方程-x2+8x-12=0可得出OA,OB的值,由点Q在抛物线的对称轴上可知QA=QB,即点A在⊙Q上,根据
切线长定理即可得出OC的长;
(3)①以O为圆心,OC长为半径作弧,交抛物线于C′,C′就是所求的切点.
②作AC′的垂直平分线交抛物线的对称轴于Q′,点Q′就是所求的圆心.
③以Q′为圆心Q′B(或Q′C′,或Q′A)长为半径作圆,作直线OC′,则OC′与⊙Q′相切于C′.
解答:解:(1)∵依题意知m、n是方程-x2+bx-12=0的两根.
∴m+n=b,mn=12,
∵(m-1)(n-1)-5=0.
∴mn-(m+n)-4=0,
∴12-b-4=0,
∴b=8,
∴抛物线的解析式是y=-x2+8x-12;

(2)∵由(1)知,抛物线的解析式是y=-x2+8x-12,
∴解方程-x2+8x-12=0,得x1=2,x2=6
∴OA=2,OB=6(或OA=6,OB=2)
抛物线的图象如图所示,
∵Q在抛物线的对称轴上,
∴QA=QB.
∴点A在⊙Q上,
∵OC是⊙Q的切线,
∴OC2=OA•OB=2×6=12
∴OC=2
3


(3)作法:①以O为圆心,OC长为半径作弧,交抛物线于C′,C′就是所求的切点.
②作AC′的垂直平分线交抛物线的对称轴于Q′,点Q′就是所求的圆心.
③以Q′为圆心Q′B(或Q′C′,或Q′A)长为半径作圆,作直线OC′,则OC′与⊙Q′相切于C′.
点评:本题考查的是二次函数综合题,涉及到韦达定理、切割线定理及用待定系数法求二次函数的解析式等相关知识,难度适中.
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