Question

17．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO=90°，OA与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于点D，且OD=2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C．若S_{四边形ABCD}=10，求此反比例函数的解析式．

Answer 1

分析 证出△DCO∽△ABO，推出$\frac{DC}{AB}$=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{OD}{OA}$=$\frac{2}{3}$，求出$\frac{{S}_{△ODC}}{{S}_{△OAB}}$=（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{4}{9}$，求出S_△ODC=8，根据三角形面积公式得出$\frac{1}{2}$OC×CD=8，求出OC×CD=16即可．

解答 解：∵OD=2AD，
∴$\frac{OD}{OA}$=$\frac{2}{3}$，
∵∠ABO=90°，DC⊥OB，
∴AB∥DC，
∴△DCO∽△ABO，
∴$\frac{DC}{AB}$=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{OD}{OA}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△ODC}}{{S}_{△OAB}}$=（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{4}{9}$，
∵S_{四边形ABCD}=10，
∴S_△ODC=8，
∴$\frac{1}{2}$OC×CD=8，
OC×CD=16，
∵双曲线在第二象限，
∴k=-16，
故反比例函数的解析式为：y=-$\frac{16}{x}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ODC的面积．