Question

16．如图，已知平面直角坐标系中存在点M（2，0），点A（a，0）．在x轴负半轴上有点C，且满足AM=OC，现以AC为对角线作正方形ABCD，设AM的中点为P，当以点O为圆心，OP为半径的圆与正方形ABCD的边相切时，a的值是2$\sqrt{2}$+2或6+4$\sqrt{2}$或6-4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设正方形ABCD与⊙O相切于点N，连接ON，根据OA=$\sqrt{2}$ON=$\sqrt{2}$OP，分三种情形分别列出方程即可解决问题．

解答 解：如图1中，设正方形ABCD的边AB与⊙O相切于点N，连接ON．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAN=45°，∠ONA=90°，
∴OA=$\sqrt{2}$ON=$\sqrt{2}$OP，
∴a=$\sqrt{2}$（$\frac{a+2}{2}$），
∴a=2$\sqrt{2}$+2．
如图2中，设正方形ABCD的边BC与⊙O相切于点E，连接OE

由CO=$\sqrt{2}$OE=$\sqrt{2}$OP，得到：a-2=$\sqrt{2}$•$\frac{a+2}{2}$，解得a=6+4$\sqrt{2}$
如图3中，

由OP=OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OC可得，$\frac{a+2}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2-a），
解得a=6-4$\sqrt{2}$，
故答案为2$\sqrt{2}$+2或6+4$\sqrt{2}$或6-4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查切线的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是利用等腰直角三角形斜边是直角边的$\sqrt{2}$倍列出方程解决的，属于中考常考题型．