Question

如图，在直角坐标系xOy中，直线AB交x轴于A（1，0），交y轴负半轴于B（0，-5），C为x轴正半轴上一点，且CA=

4

5

CO．
（1）求△ABC的面积．
（2）延长BA到P，使得PA=AB，求P点的坐标．
（3）如图，D是第三象限内一动点，且OD⊥BD，直线BE⊥CD于E，OF⊥OD交BE延长线于F．当D点运动时，

OD

OF

的大小是否发生变化？若改变，请说明理由；若不变，求出这个比值．

Answer 1

分析：（1）由A和B的坐标可求出AC的长，再根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积；
（2）作PN⊥x轴于N，通过证明△PAN≌△BAO，可求出PN和ON的长，即可得到P点的坐标；
（3）当D点运动时，

OD

OF

的大小不发生变化，设BF与OD的交点为M，利用已知条件证明△FOB≌△DOC，得到OF=OD，求出OD：OF=1．

解答：解：（1）∵点A（1，0），点B（0，-5），
∴OA=1，OB=5，
∵CA=

4

5

CO，
∴CA=4，CO=5，
∴S_△ABC=

1

2

AC•OB=

1

2

×4×5=10；

（2）作PN⊥x轴于N，
在△PAN和△BAO中，

∠PNA=∠BOA=90° ∠PAN=∠BAO PA=BA

，
∴△PAN≌△BAO（AAS），
∴PN=OB，AN=AO，
∴PN=5，ON=2OA=2，
∴P（2，5）；

（3）当D点运动时，

OD

OF

的大小不发生变化，
理由如下：
设BF与OD的交点为M，
∵OF⊥OD，
∴∠F+∠∠FMD=90°，
又∵BE⊥CD，
∴∠FMD+∠DME=90°，
∵∠FMD=∠DME，
∴∠F=∠MDE，
∵OF⊥OD，OB⊥OC，
∴∠FOD=∠COB=90°，
∴∠FOD+∠DOB=∠COB+∠DOB，
∴∠FOB=∠DOC，
在△FOB和△DOC中，

∠F=∠ODC ∠FOB=∠DOC OB=OC

，
∴△FOB≌△DOC（AAS），
∴OF=OD，
∴

OD

OF

=1．

点评：本题考查了三角形的面积公式以及全等三角形的判定与性质等知识点，题目的综合性很强，难度不小．