Question

如图，A，B是直线l上的两点，且AB=2，两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB所围成图形面积S的最大值是

 

．

Answer 1

分析：先判断出当r=1时两圆外切，再根据切线的性质可知四边形ABEF是长方形，由S_最大=S_{长方形ABEF}-S_扇形ACF-S_扇形BCE，即可得出结论．

解答：解：∵AB=2，
∴当r=1时两圆正好外切，显然当两圆外切时圆弧AC，CB与线段AB所围成图形面积S的值最大，
∴过C作CD垂直AB，
过点C作EF∥AB，分别过点AB作AF⊥EF，BE⊥EF，则四边形ABEF是长方形，
则S_最大=S_{长方形ABEF}-S_扇形ACF-S_扇形BCE
=2×1-2×

1

4

π
=2-

π

2

．

点评：本题考查的是面积及等积变换，涉及到切线的性质、长方形的面积、扇形的面积公式，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．