Question

如图，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD

（1）填空：点C的坐标是（____，____），点D的坐标是（____，____）；
（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；
（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）点C的坐标是（0，1），点D的坐标是（-2，0）； （2）由（1）可知CD，BC=1， 又∠1=∠5，∠4=∠3， ∴△BMC∽△DOC， ∴即， ∴BM=； （3）存在； 存在分两种情况讨论： ①以BM为腰时， ∵BM=，又点P在y轴上，且BP=BM， 此时满足条件的点P有两个，它们是P1（0，2+）、P2（0，2-）， 过点M作ME⊥y轴于点E， ∵∠BMC=90°， 则△BME∽△BCM， ∴， ∴， 又∵BM=BP， ∴PE=BE=， ∴BP=， ∴OP=2-=， 此时满足条件的点P有一个，它是P3（0，）， ②以BM为底时，作BM的垂直平分线，分别交y轴、BM于点P、F， 由（2）得∠BMC=90°， ∴PF∥CM， ∵F是BM的中点， ∴BP=BC=， ∴OP=， 此时满足条件的点P有一个，它是P4（0，） 综上所述，符合条件的点P有四个，它们是：P1（0，2+）、P2（0，2-）、P3（0，）、P4（0，）。