Question

探究：
（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：______；
（2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明．

Answer 1

解：（1）如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAF′=∠EAF=45°，
在△AEF和△AEF′中，，
∴△AEF≌△AEF′（SAS），
∴EF=EF′，
又EF′=BE+BF′=BE+DF，
∴EF=BE+DF；

（2）结论EF=BE+DF仍然成立．
理由如下：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，
则△ADF≌△ABF′，
∴∠BAF′=∠DAF，AF′=AF，BF′=DF，∠ABF′=∠D，
又∵∠EAF=∠BAD，
∴∠EAF=∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAF′，
∴∠EAF=∠EAF′，
又∵∠ABC+∠D=180°，
∴∠ABF′+∠ABE=180°，
∴F′、B、E三点共线，
在△AEF与△AEF′中，，
∴△AEF≌△AEF′（SAS），
∴EF=EF′，
又∵EF′=BE+BF′，
∴EF=BE+DF；

（3）发生变化．EF、BE、DF之间的关系是EF=BE-DF．
理由如下：如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，点F落在BC上点F′处，得到△ABF′，
∴△ADF≌△ABF′，
∴∠BAF′=∠DAF，AF′=AF，BF′=DF，
又∵∠EAF=∠BAD，且∠BAF′=∠DAF，
∴∠F′AE=∠BAD-（∠BAF′+∠EAD）=∠BAD-（∠DAF+∠EAD）=∠BAD-∠FAE=∠FAE，
即∠F′AE=∠FAE，
在△F′AE与△FAE中，，
∴△F′AE≌△FAE（SAS），
∴EF=EF′，
又∵BE=BF′+EF′，
∴EF′=BE-BF′，
即EF=BE-DF．
分析：（1）将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，然后求出∠EAF′=∠EAF=45°，利用“边角边”证明△AEF和△AEF′全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=EF′，从而得解；
（2）将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，根据旋转变换的性质可得△ADF和△ABF′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF′=∠DAF，对应边相等可得AF′=AF，BF′=DF，对应角相等可得∠ABF′=∠D，再根据∠EAF=∠BAD证明∠EAF′=∠EAF，并证明E、B、F′三点共线，然后利用“边角边”证明△AEF和△AEF′全等，根据全等三角形对应边相等可得EF′=EF，从而得解；
（3）将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，点F落在BC上点F′处，得到△ABF′，根据旋转变换的性质可得△ADF和△ABF′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF′=∠DAF，对应边相等可得AF′=AF，BF′=DF，再根据∠EAF=∠BAD证明∠F′AE=∠FAE，然后利用“边角边”证明△F′AE和△FAE全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=EF′，从而求出EF=BE-DF．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转变换的性质，利用旋转变换构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．