Question

13．如图，点C、D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠CAB
（1）求证：AC∥OD．
（2）若AC=7，AB=25，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由角平分线和圆周角定理得出$\widehat{CD}=\widehat{BD}$，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BOD，证出∠CAB=∠BOD，即可得出结论；
（2）由圆周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理求出BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=24，证明OE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出OE=$\frac{1}{2}$AC=3.5，求出DE=OD-OE=9，由勾股定理求出BD，再由勾股定理求出AD即可．

解答 （1）证明：连接OD，如图1所示：
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴$\widehat{CD}=\widehat{BD}$，
∵∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠CAB=∠BOD，
∴AC∥OD；
（2）解：连接BC、BD，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，OD=$\frac{1}{2}$AB=12.5，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{2{5}^{2}-{7}^{2}}$=24，
∵AC∥OD，OA=OB，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=12，OD⊥BC，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=$\frac{1}{2}$AC=3.5，
∴DE=OD-OE=9，
∴BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$=15，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{2{5}^{2}-1{5}^{2}}$．

点评 本题考查了圆周角定理、勾股定理以及三角形中位线定理；熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解决问题的关键．