Question

1．如图，已知正方形ABCD中，点E是边BC上一点（不与B，C重合），连接AE，AC，将△AEC沿直线AE翻折，点C的对应点为点F，连接FE并延长FE交边CD于点G，若DG=3CG，则$\frac{CE}{BE}$=6．

Answer 1

分析 先过A作AH⊥FG于H，连接AG，构造全等三角形，再根据直角三角形，利用勾股定理列方程求解，即可得到BE，CE的长，进而得到$\frac{CE}{BE}$的值．

解答 解：如图所示，过A作AH⊥FG于H，连接AG，则∠B=∠AHE=90°，
由折叠可得，∠AEF=∠AEC，而∠BEF=∠HEC，
∴∠AEB=∠AEH，
在△ABE和△AHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠AHE}\\{∠AEB=∠AEH}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴BE=HE，AB=AH=AD，
在Rt△ADG和Rt△AHG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AH}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADG≌Rt△AHG（HL），
∴DG=HG，
设BC=CD=4，BE=HE=x，则CE=4-x，DG=HG=3，CG=1，
∵Rt△CEG中，CG²+CE²=EG²，
∴1²+（4-x）²=（x+3）²，
解得x=$\frac{4}{7}$，
∴BE=$\frac{4}{7}$，CE=4-$\frac{4}{7}$=$\frac{24}{7}$，
∴$\frac{CE}{BE}$=6．
故答案为：6．

点评 本题主要考查了折叠问题，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形，依据全等三角形对应边相等以及勾股定理列方程求解．