Question

如图，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APD和△BPC，连接BD与PC交于点E，连接CD．

（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；
（2）若线段CD是线段DE和DB的比例中项，试求这时的值；
（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD²是否成正比例，若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由．

Answer 1

解：（1）∵等边△APD和△BPC，
∴PC=BC，∠CPD=60°，∠DPA=∠CBP=60°，
∴PD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB=60°，
∵BC⊥CD，
∴∠DCB=∠PDC=90°，
∴∠DCP=30°，
∴tan∠DBC===cos30°=；

（2）由已知，CD²=DE•DB，
即，
又∵∠CDE=∠CDE，
∴△DCE∽△DBC，
∴，
又∵CP=BC，，
∵PD∥BC，
∴，
∴，
∴CD=BE，
∴，即点E是线段BD的黄金分割点．
∴，
又∵PC∥AD，
∴，

（3）设AP=a，PB=b，
∴，，
因为AD∥PC，PD∥BC，
∴，，
∴，
∴，
∴，
作DH⊥AB，
则，，
∴BD²=DH²+BH²=（a）²+（a+b）²=a²+ab+b²，
∴，
∴S与BD²成正比例，比例系数为．
分析：（1）根据等边三角形的性质得出PC=BC，∠CPD=60°，PD∥BC，进而得出∠DBC的正切值等于=，即可得出答案；
（2）利用线段CD是线段DE和DB的比例中项得出△DCE∽△DBC，再利用相似三角形的性质得出即可；
（3）由AD∥PC，PD∥BC，得出，，进而得出，以及，即可得出比例系数．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练利用相似三角形的性质得出对应边之间关系是解题关键．