Question

3．如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，求证DE=$\frac{1}{2}$DG．

Answer 1

分析 （1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可．
（2）连结BD，根据AAS证得△ADF≌△CDE得出DE=DF，然后根据垂径定理得DF=$\frac{1}{2}$DG，即可证得结论．

解答 （1）证明：连结OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠ADO=∠C，
∴DO∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DO⊥DE，
又点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连结BD，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴AD=DC，
在△ADF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{∠AFD=∠CED=90°}\\{AD=DC}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△CDE（AAS），
∴DE=DF，
∵直径AB⊥弦DG，由垂径定理得DF=$\frac{1}{2}$DG，
∴DE=$\frac{1}{2}$DG．

点评 本题考查了切线的判定三角形全等的判定和性质，圆周角定理等腰三角形的性质等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直是证明切线的常用的方法．