Question

14．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连OD交BE于点M，若BE=8且MD=2，则直径AB长为10．

Answer 1

分析 连接AD，设直径AB长为x，由圆周角定理得出∠AEB=∠ADB=90°，由等腰三角形的性质得出BD=CD，由三角形中位线定理得出OD∥AC，CE=2MD=4，则AE=x-4，然后在直角△ABE中由勾股定理求出AB即可．

解答 解：连接AD，如图所示，．
∵以AB为直径的⊙O与BC交于点D，
∴∠AEB=∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∴BM=EM，
∴CE=2MD=4，
∴AE=AC-CE=x-4，
∵BE=8，∠AEB=90°，
∴x²=（x-4）²+8²，解得x=10，
即直径AB长为10．
故答案为：10．

点评 本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理；熟练掌握圆周角定理，由三角形中位线定理求出CE是解决问题的关键．