Question

如图，⊙O的直径AB=10，PA与⊙O相切于点A，C是⊙O上的点，CM⊥OB于M，连接PC，
（1）若M是OB的中点，求弧BC的长；
（2）若PO=，OM=3，求证：PC是⊙O的切线．

Answer 1

（1）解：连接OC，
∵圆O直径AB=10，
∴半径OB=OA=OC=5，
又∵M为OB的中点，
∴OM=BM=2.5，
在Rt△OCM中，OC=5，OM=2.5，
∴OM=OC，
∴∠OCM=30°，
∴∠BOC=60°，又半径为5，
则弧BC的长l==；
（2）证明：过C作CN⊥AP，交AP于点N，
∵PA为圆O的切线，
∴PA⊥OA，又CM⊥AB，
∴∠NAM=∠AMC=∠ANC=90°，
∴四边形AMCN为矩形，
在Rt△OCM中，OC=5，OM=3，
根据勾股定理得：CM==4，
∴AM=CN=OA+OM=5+3=8，AN=CM=4，
在Rt△AOP中，OP=5，OA=5，
根据勾股定理得：AP==10，
∴PN=PA-AN=10-4=6，
在Rt△PNC中，CN=8，PN=6，
根据勾股定理得：PC==10，
∴PA=PC=10，
在△PAO和△PCO中，
∵，
∴△PAO≌△PCO（SSS），
∴∠OCP=∠OAP=90°，
则PC为圆O的切线．
分析：（1）连接OC，由M为OB的中点，根据半径OB的长求出OM的长，在直角三角形OCM中，得到直角边OM为斜边OC的一半，可得出∠OCM=30°，进而求出弧BC所对圆心角∠BOC=60°，利用弧长公式即可求出弧BC的长；
（2）过C作CN垂直于PA，可得出四边形AMCN为矩形，得到AM=CN，AN=CM，在直角三角形OCM中，由OC及OM，利用勾股定理求出CM的长，即为AN的长，在直角三角形APO中，由PO与AO的长，利用勾股定理求出PA的长，再由PA-AN求出PN的长，在直角三角形PCN中，由CN与PN的长，利用勾股定理求出PC的长，发现PA=PC，再由OA=OC，公共边OP，利用SSS得出三角形APO与三角形CPO全等，由全等三角形的对应角相等得到∠OCP=∠OAP=90°，即可得到PC为圆O的切线，得证．
点评：此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，以及弧长的计算，熟练掌握切线的性质与定理是解本题的关键．