精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
给出下列命题:
①对于实数u,v,定义一种运算“*“为:u*v=uv+v.若关于x的方程x*(a*x)=-
1
4
没有实数根,则满足条件的实数a的取值范围是0<a<1;
②设直线kx+(k+1)y-1=0(k为正整数)与坐标轴所构成的直角三角形的面积为Sk,则S1+S2+S3+…+S2008=
1004
2009

③函数y=-
1
x2
+
3
x
的最大值为2;
④甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有48种.
其中真命题的个数有(  )
分析:①根据新定义整理出一元二次方程,然后根据判别式△<0,方程没有实数根列式得到关于a的不等式,求解不等式即可判断;
②求出直线与坐标轴的交点坐标,再根据直角三角形的面积公式列式得到Sk的表达式,然后利用拆项法整理求解;
③先配方,再根据二次函数的最值问题求解;
④求出每一名同学的可能选修方法的种数,然后相乘即可得解.
解答:解:①根据新定义,x*(a*x)=x*(ax+x),
=x(ax+x)+(ax+x),
=(a+1)x2+(a+1)x,
所以,(a+1)x2+(a+1)x+
1
4
=0,
∵方程没有实数根,
∴△=(a+1)2-4(a+1)×
1
4
<0,
即a(a+1)<0,
解得-1<a<0,故本小题错误;

②当y=0时,kx-1=0,解得x=
1
k

当x=0时,(k+1)y-1=0,解得y=
1
k+1

所以,与x轴的交点坐标为(
1
k
,0),与y轴的交点坐标为(0,
1
k+1
),
∵k为正整数,
∴Sk=
1
2
×
1
k
×
1
k+1
=
1
2
1
k(k+1)
=
1
2
1
k
-
1
k+1
),
∴S1+S2+S3+…+S2008=
1
2
(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2008
-
1
2009
),
=
1
2
(1-
1
2009
),
=
1
2
×
2008
2009

=
1004
2009
,故本小题正确;

③∵y=-
1
x2
+
3
x
=-(
1
x2
-
3
x
+
9
4
)+
9
4
=-(
1
x
-
3
2
2+
9
4

∴当
1
x
=
3
2
,即x=
2
3
时,函数有最大值
9
4
,故本小题错误;

④设4门课程分别为1,2,3,4,甲选修2门,可有1,2;1,3;1,4;2,3;2,4;3,4共6种情况,
同理乙,丙均可有1,2,3;1,2,4;2,3,4;1,3,4共4种情况,
所以,不同的选修方案共有6×4×4=96种,故本小题错误;
综上所述,真命题有②共1个.
故选A.
点评:本题考查了一元二次方程的根的判别式,一次函数图象上点的坐标特征,二次函数的最值问题,排列组合,综合性较强,难度较大,对同学们的能力要求比较高.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

(2011•资阳)给出下列命题:①若m=n+1,则1-m2+2mn-n2=0;②对于函数y=kx+b(k≠0),若y随x的增大而增大,则其图象不能同时经过第二、四象限;③若a、b(a≠b)为2、3、4、5这四个数中的任意两个,则满足2a-b>4的有序数组(a,b)共有5组.其中所有正确命题的序号是(  )

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:单选题

给出下列命题:
①对于实数u,v,定义一种运算“*“为:u*v=uv+v.若关于x的方程x*(a*x)=-数学公式没有实数根,则满足条件的实数a的取值范围是0<a<1;
②设直线kx+(k+1)y-1=0(k为正整数)与坐标轴所构成的直角三角形的面积为Sk,则S1+S2+S3+…+S2008=数学公式
③函数y=-数学公式+数学公式的最大值为2;
④甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有48种.
其中真命题的个数有


  1. A.
    1个
  2. B.
    2个
  3. C.
    3个
  4. D.
    4个

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

给出下列命题:
①对于实数u,v,定义一种运算“*“为:u*v=uv+v.若关于x的方程x*(a*x)=-
1
4
没有实数根,则满足条件的实数a的取值范围是0<a<1;
②设直线kx+(k+1)y-1=0(k为正整数)与坐标轴所构成的直角三角形的面积为Sk,则S1+S2+S3+…+S2008=
1004
2009

③函数y=-
1
x2
+
3
x
的最大值为2;
④甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有48种.
其中真命题的个数有(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2012年浙江省宁波市小曹娥中学自主招生考试数学摸拟试卷(三)(解析版) 题型:选择题

给出下列命题:
①对于实数u,v,定义一种运算“*“为:u*v=uv+v.若关于x的方程x*(a*x)=-没有实数根,则满足条件的实数a的取值范围是0<a<1;
②设直线kx+(k+1)y-1=0(k为正整数)与坐标轴所构成的直角三角形的面积为Sk,则S1+S2+S3+…+S2008=
③函数y=-+的最大值为2;
④甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有48种.
其中真命题的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

查看答案和解析>>

同步练习册答案