Question

观察思考
某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图。其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动，在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动，数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米。

解决问题：
（1）点Q与点O间的最小距离是______分米；
点Q与点O间的最大距离是______分米；
点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是______分米；
（2）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的。”你认为他的判断对吗？为什么？
（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l 的距离最小。”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是______分米；
②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数。

Answer 1

解：（1）4；5；6； （2）不对； ∵OP=2，PQ=3，OQ=4， 且42≠32+22，即OQ2≠PQ2+OP2， ∴OP与PQ不垂直， ∴PQ与⊙O不相切； （3）①3； ②由①知，在⊙O上存在点P，P′到l的距离为3， 此时，OP将不能再向下转动，如图3， OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P′OP， 连结P′P，交OH于点D， ∵PQ，P′Q′均与l垂直，且PQ=P′Q′=3， ∴四边形PQP′Q′是矩形， ∴OH⊥PP′，PD=P'D， 由OP=2，OD=OH-HD=1，得∠DOP=60°， ∴∠POP′=120°， ∴所求最大圆心角的度数为120°。