Question

9．若正方形的四个顶点都在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为6cm和8cm，则此正方形的边长为$\frac{24}{7}$cm或$\frac{120}{37}$cm．

Answer 1

分析 由于正方形的位置不确定要分两种情况讨论：①正方形有一个顶点在斜边上，可设出正方形的边长，利用相似三角形的成比例线段求解；②正方形有两个顶点在斜边上；可设出正方形的边长，利用相似三角形的成比例线段求解．

解答 解：如图；
Rt△ABC中，AB=6cm，BC=8cm，由勾股定理，得：
AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10（cm）；
（1）如图①，设正方形的边长为xcm，则AD=3-x，CF=4-x；
易证得△ADE∽△EFC；
∴$\frac{DE}{FC}=\frac{AD}{EF}$，即$\frac{x}{8-x}=\frac{6-x}{x}$，解得x=$\frac{24}{7}$；
即正方形的边长为$\frac{24}{7}$cm；
（2）如图②，设正方形的边长为xcm，则AG=$\frac{3}{4}$x，CF=$\frac{4}{3}$x；
∴AC=AG+EF+CF=$\frac{3}{4}$x+$\frac{4}{3}$x+x=10，解得x=$\frac{120}{37}$；
即正方形的边长为$\frac{120}{37}$cm；
故这个正方形的边长为$\frac{24}{7}$cm或$\frac{120}{37}$cm；
故答案为：$\frac{24}{7}$cm或$\frac{120}{37}$cm．

点评 此题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识，同时还考查了分类讨论的数学思想方法．