Question

如图已知二次函数图象的顶点为原点，直线的图象与该二次函数的图象交于A点(8，8)，直线与x轴的交点为C，与y轴的交点为B．

（1）求这个二次函数的解析式与B点坐标；

（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点，与x轴交于点E．设线段PD的长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、D、B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1），（0，4）；（2）（0＜t＜8）；

（3）（，）或（2，5）．

【解析】

试题分析：（1）先设二次函数的解析式为，把A点（8，8）代入即可求出这个二次函数的解析式，根据直线y轴的交点横坐标为0即可求出B点坐标；

（2）设P点在上且横坐标为t，得出P点的坐标为（t，），根据PD⊥x轴于E，用t表示出D和E的坐标，再根据PD=h，求出，最后根据P与AB不重合且在AB上，得出t的取值范围；

（3）先过点B作BF⊥PD于F，得出，BF=t，再根据勾股定理得出PB和BC的值，再假设△PBO∽△BOC，得出，即可求出t₁和t₂的值，从而求出P点的坐标.

（1）设二次函数的解析式为，

∵A点（8，8）在二次函数上，

∴，解得

∴

∵直线与y轴的交点为B，

∴B点坐标为（0，4）．

（2）P点在上且横坐标为t，

∴P（t，），

∵PD⊥x轴于E，

∴D（t，），E（t，0），

∵PD=h，

∴

∵P与AB不重合且在AB上，

∴0＜t＜8．

（3）存在，

当BD⊥PE时，△PBD∽△BCO，

∵

∴

∴

∴

解得，（舍去）

∴P点的纵坐标是

此时P点的坐标是（，）

当DB⊥PC时，

△PBD∽△BCO，

过点B作BF⊥PD，

则F（t，4），

∴，BF=t，

根据勾股定理得

假设△PBO∽△BOC，

则有

解得，（舍去）

∴

此时P点的坐标是（2，5）．

考点：二次函数的综合题

点评：在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式，利用数形结合思想解题是本题的关键．