Question

如图，直线OP：y=x上有一个动点A，过A作AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，翻折∠ABO与∠ACO，使点B，C分别落在OA上点E，G处，折痕分别为AD和OF．
（1）判断四边形AFOD是什么特殊四边形，并说明理由；
（2）当点A在直线OP上运动时，直线y=kx+b经过点D和F，试判断k与b是否为定值？若不是，说明理由；若是，求出k与b的值．

Answer 1

解：（1）∵AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，OC⊥OB，
∴四边形ABOC是矩形，
∴OC∥AB，
∴∠AOC=∠OAB，
又∵∠COF=∠GOF，∠EAD=∠BAD，
∴∠GOF=∠EAD，
∴OF∥AD，
又∵矩形ABOC中，AC∥OB，
∴四边形AFOD是平行四边形；
（2）作FH⊥x轴于点H，交OA于I，则OC∥FH，
设A的横坐标是12a，则纵坐标是5a，则OC=AB=5a，AC=OB=12a，
设I的横坐标是12b，则纵坐标是5b，则OH=CF=12b，IH=5b，则OI==13b．
∵OC∥FH，
∴∠COF=∠OFH，
又∵∠COF=∠GOF，
∴∠GOF=∠OFH，
∴IF=OI=13b，
∴IF+IH=13b+5b=FH=5a，
则b=a，OH=12b=a，则F的坐标是（a，5a）；
DB=OH=a，
∴OD=12a-a=a，
则D的坐标是（a，0）．
把F、D的坐标代入y=kx+b得：，
解得：．
故k的值是定值，是-，b的值不是定值．
分析：（1）四边形ABOC是矩形，则AC∥OB，根据折叠的性质以及平行线的性质可以得到：∠GOF=∠EAD，则OF∥AD，因而可以证得四边形AFOD是平行四边形；
（2）设出A的坐标，利用勾股定理求得F、D的坐标，利用待定系数法即可求得k，b的值．
点评：本题是勾股定理、一次函数，矩形的性质、平行四边形的判定的综合应用，表示出F的坐标是关键．