Question

如图所示，已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°。
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线AM交BC于点D（只保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作图形中，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使点A与点D重合，折痕EF交AC于点E，交AB于点F，连接DE、DF，再展回到原图形，得到四边形AEDF。
①试判断四边形AEDF的形状，并证明；
②若AC=8，CD=4，求四边形AEDF的周长和BD的长。

Answer 1

解：（1）作图正确， 写出结论：射线AM就是所要求的角平分线；
（2）①四边形AEDF是菱形， 证明：如图，根据题意，可知EF是线段AD的垂直平分线， 则AE=ED，AF=FD，∠AGE=∠AGF=90°， 由（1）可知，AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAD=∠DAF， ∵∠AGE=∠AGF，AG=AG， ∴△AEG≌△AFG， ∴AE=AF， ∴AE=ED=DF=AF， ∴四边形AEDF是菱形； ②设AE=x，则ED=x，CE=8-x， 在Rt△ECD中，42+（8-x）2=x2， 解得x=5， ∴4x=20， 即四边形AEDF的周长是20， 由①可知，四边形AEDF是菱形， ∴FD∥AC， ∴， ∴， 解得，即BD的长是。