Question

如图，矩形ABCD中，A（-2，0），B（2，0），AC，BD的交点E（0，），反比例函数y=的图象过点C．
（1）BC=______；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）将矩形ABCD向下平移m个单位长，得矩形A₁B₁C₁D₁，点D的对应点D₁恰在反比例函数y=图象上，设此时反比例函数图象与A₁B₁交于点F．
①m=______；
②求△D₁A₁F₁的面积．

Answer 1

解：（1）由A（-2，0）得到OA=2，由E（0，）得到OE=，
∵矩形ABCD，∴AE=CE==，即AC=5，
在Rt△ABC中，AB=OA+OB=4，AC=5，
根据勾股定理得：BC==3；
故答案为：3；

（2）∵E为AC中点，A（-2，0），E（0，），
∴C（2，3），
将C坐标代入反比例解析式得：k=6，
∴反比例解析式为y=；

（3）①将x=-2代入反比例解析式得：y==-3，
则m=|-3|+AD=3+3=6；
故答案为：6
②由平移得A₁（-2，-6），
将y=-6代入y=，得x=-1，
∴F（-1，-6），即A₁F=1，
由题意，得A₁D₁=3，
则△D₁A₁F的面积为×1×3=．
分析：（1）由A坐标求出OA的长，由E坐标求出OE的长，在直角三角形AOE中，利用勾股定理求出AE的长，利用矩形的对角线互相平分求出AC的长，在直角三角形ABC中，由AC与AB的长，利用勾股定理即可求出BC的长；
（2）由OB与BC的长，确定出C坐标，代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（3）①由平移得到D₁与D横坐标相同，而D横坐标与A横坐标相同，将A横坐标代入反比例解析式求出y的值，确定出D₁纵坐标，即可求出m的值；
②由平移距离m与A₁D₁的长，求出A₁的纵坐标，将求出纵坐标代入反比例解析式求出x的值，确定出F坐标，得出A₁F长，由A₁D₁与A₁F乘积的一半即可求出△D₁A₁F₁的面积．
点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，矩形的性质，待定系数法求反比例解析式，平移的性质，以及线段中点坐标公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．