Question

11．如图，△ABC中，O为BC上一点，⊙O过A，C两点交BC于D，BA为⊙O的切线，若sin∠B=$\frac{3}{5}$，求tan∠BAD的值．

Answer 1

分析 连接OA，过A作AM⊥BC于M，求出∠BAD=∠ACO，解直角三角形求出AO、BO、求出AB，根据三角形面积公式求出AM，求出OM，解直角三角形求出即可．

解答 解：连接OA，过A作AM⊥BC于M，
∵BA为⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，即∠BAD+∠OAD=90°，
∵CD为直径，
∴∠CAD=90°，即∠CAO+∠OAD=90°，
∴∠BAD=∠CAO，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠BAD=∠ACO，
∵BA为⊙O的切线，
∴∠BAO=90°，
∴sin∠B=$\frac{3}{5}$=$\frac{AO}{BO}$，
设AO=3x，则OD=OC=3x，OB=5x，
由勾股定理得：AB=4x，
∵S_△ABO=$\frac{1}{2}×AB×AO$=$\frac{1}{2}×OB×AM$，
∴AM=$\frac{12}{5}$x，
在Rt△AMO中，由勾股定理得：OM=$\sqrt{A{O}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{（3x）^{2}-（\frac{12}{5}x）^{2}}$=$\frac{9}{5}$x，
∴CM=3x+$\frac{9}{5}$x=$\frac{24}{5}$x，
∴tan∠BAD=tan∠ACO=$\frac{AM}{CM}$=$\frac{\frac{12}{5}x}{\frac{24}{5}x}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形面积公式等知识点，能求出∠BAD=∠ACO是解此题的关键．