Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以C为圆心、CA的长为半径的圆分别交AB、CB于E、M，AC的延长线交⊙C于D，连接DE交CB于N，连接BD．求证：
（1）△ABD是等腰三角形；
（2）CM²=CN•CB．

Answer 1

分析：（1）△ABD中，BC垂直平分AD，根据线段垂直平分线的性质即可得到AB=BD的结论；
（2）由于AC=CD=CM，那么所求的乘积式可化为：AC•CD=CN•CB，然后将此式化为比例式，证这些线段所在的三角形相似即可，即证Rt△DNC∽Rt△BAC．

解答：证明：（1）∵CB⊥AD，DC=AC，
∴BD=BA，即△ABD是等腰三角形；（3分）

（2）∵AD是⊙C的直径，（4分）
∴∠DEA=90°．
∴∠EDA=90°-∠A=∠CBA；（7分）
∴Rt△DNC∽Rt△BAC，∴

DC

BC

=

NC

AC

；（8分）
又∵AC=DC=CM，∴CM²=CN•CB．（9分）

点评：此题主要考查的是等腰三角形的判定、圆周角定理及相似三角形的判定和性质．