Question

18．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，将矩形ABCD绕B逆时针旋转30°后得到矩形GBEF，延长DA交FG于点H，则GH的长为（　　）

• A． 8-4$\sqrt{3}$
• B． $\frac{8\sqrt{3}}{3}$-4
• C． 3$\sqrt{3}$-4
• D． 6-3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作辅助线，构建直角△AHM，先由旋转得BG的长，根据旋转角为30°得∠GBA=30°，利用30°角的三角函数可得GM和BM的长，由此得AM和HM的长，相减可得结论．

解答 解：如图，延长BA交GF于M，
由旋转得：∠GBA=30°，∠G=∠BAD=90°，BG=AB=4，
∴∠BMG=60°，
tan∠30°=$\frac{GM}{BG}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{GM}{4}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴GM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴BM=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴AM=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-4，
Rt△HAM中，∠AHM=30°，
∴HM=2AM=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$-8，
∴GH=GM-HM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-（$\frac{16\sqrt{3}}{3}$-8）=8-4$\sqrt{3}$，
故选A．

点评 本题考查了矩形的性质、旋转的性质、特殊角的三角函数及直角三角形30°的性质，熟练掌握直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半及特殊角的三角函数值，属于基础题．