Question

如图（Ⅰ），分别以△ABC的边AC和BC为边，向△ABC外作正方形ACE₁F₁和正方形BCE₂F₂，过点C作直线PQ交AB于H，使∠AHP=∠ACE₁，过E₁作E₁M⊥PQ于M，过E₂作E₂N⊥PQ于N，连接AE₁．
（1）若∠ACH=60°，CH=2cm，求AE₁的长；
（2）求证：ME₁=NE₂；
（3）若将图（Ⅰ）中的两个正方形改为两个等边三角形，过点C作直线P₁Q₁和P₂Q₂分别交AB于H₁和H₂，使∠AH₁P₁=∠ACE₁，∠BH₂P₂=∠BCE₂，同样过E₁作E₁M⊥P₁Q₁于M，过E₂作E₂N⊥P₂Q₂于N，如图（Ⅱ），请你猜想（2）的结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请你说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）运用特殊角的RT△AHC求出AC，再运作等腰直角三角形求出AE₁．
（2）运用△ACH≌△CE₁M得出ME₁=CH，再运用△CHB≌△CNE₂得出NE₂=CH，即可得出ME₁=NE₂
（3）过点C作CG⊥AB，垂足为点G，可证得△ACG≌△CE₁M，得出CG=E₁M，再运用△CGH₁≌△CNE₂得出CG=E₂N，即可得出ME₁=NE₂结论是成立．

解答：解：（1）∵∠AHP=∠ACE₁=90°，
∴△AHC是直角三角形，
∵∠ACH=60°，CH=2cm，
∴AC=4cm，
∵四边形ACE₁F₁是正方形，
∴AE₁=

2

AC=4

2

cm，
（2） 证明：如图（Ⅰ），

∵∠ACE₁=90°，
∴∠ACH+∠E₁CM=180°-90°=90°，
∵∠AHM=∠ACE₁=90°，
∴∠ACH+∠HAC=90°，
∴∠E₁CM=∠HAC，
在△ACH和△CE₁M中，

∠AHC=∠CME1 ∠AHC=∠CME1 AC=CE1

∴△ACH≌△CE₁M（AAS），
∴ME₁=CH，
同理可证NE₂=CH，
∴ME₁=NE₂；
（3）ME₁=NE₂成立．
证明：如图（Ⅱ），过点C作CG⊥AB，垂足为点G，

∵∠H₁AC+∠ACH₁+∠AH₁C=180°，
∠E₁CM+∠ACH₁+∠ACE₁=180°，
∵∠AH₁P₁=∠ACE₁
∴∠H₁AC=∠E₁CM，
在△ACG和△CE₁M中，

∠CGA=∠E1MC ∠GAC=∠E1CM AC=CE1

，
∴△ACG≌△CE₁M（AAS），
∴CG=E₁M，
同理可证CG=E₂N，
∴ME₁=NE₂．
∴（2）的结论成立．

点评：本题主要考查了四边形的综合题，涉及三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是正确找准角边的关系证明三角形全等．