Question

如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，对角线AC上有一个动点P（不包括点A和点C）．设AP=x，四边形PBCD的面积为y．
（1）y与x的函数关系式为______，自变量x的范围是______；
（2）有人提出一个判断：“关于动点P，△PBC面积与△PAD面积之和为常数．”请你说明此判断是否正确______．（填“是”或“否”）

Answer 1

解：（1）过动点P作PE⊥BC于点E．在Rt△ABC中，AC=10，
PC=AC-AP=10-x，
∵PE⊥BC，AB⊥BC，
∴AB∥PE，
∴△PEC∽△ABC，
故=，
即=，PE=8-x，EC=6-x，
∴S_△PBC=PE•BC=24-x，S_△PCD=CD•EC=24-x，
即y=48-x，x的取值范围是0＜x＜10；

（2）这个判断是正确的．
理由：由（1）可得，△PAD面积=，
△PBC面积与△PAD面积之和=24．
分析：（1）解此题的关键是用x表示出四边形PBCD的面积，可以将四边形PBCD化为两个三角形：△PCD，△PBC来求得．先求△PBC的面积，BC=6，可利用相似表示出高的值，求面积即可；又因为两个三角形的面积相等，所以可以求得．
（2）根据①中的方法，可以求得△PAD的面积，两个面积相加，即可求得和为24．
点评：此题考查了相似三角形的判定，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．