Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到点E，使BE=AD，连接DE，交AB于点M
（1）求证：△AMD≌△BME；
（2）若N是CD中点，且MN=7，BE=3，求BC的长．

Answer 1

（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠A=∠MBE，∠ADM=∠E，
在△AMD和△BME中，
∵，
∴△AMD≌△BME（ASA）；

（2）解：∵△AMD≌△BME，
∴MD=ME，
又∵ND=NC，
∴MN是△DEC的中位线，
∴MN=EC，
∴EC=2MN=2×7=14，
∴BC=EC-EB=14-3=11．
分析：（1）根据两直线平行，内错角相等可得，∠A=∠MBE，∠ADM=∠E，然后利用“角边角”即可证明△AMD和△BME全等；
（2）先判定MN是△DEC的中位线，然后根据三角形的中位线等于第三边的一半求出EC的长度，再根据BC=EC-BE代入数据计算即可得解．
点评：本题考查了梯形，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，根据梯形的两底边平行求出相等的角是证明三角形全等的关键．