Question

13．如图，已知在平面直角坐标系中，点B在x轴上，半径为3的⊙B与y轴相切，直线l过点A（-2，0），且和⊙B相切，与y轴相交于点C．若点E在直线l上，且以A为圆心，AE为半径的圆与⊙B相切，求点E的坐标．

Answer 1

分析 分两种情形讨论即可①当⊙A与⊙B内切时，直线l与⊙A交于点E₁、E₂，作E₁M⊥x轴于M．设⊙B与直线l相切于点D，连接BD，则BD⊥直线l，则AE₁=8．
②当⊙A与⊙B外切时，⊙A与直线l交于点E₂、E₃，作E₂N⊥x轴于N．则AE₂=2，利用相似三角形的性质分别求解即可．

解答 解：如图，

①当⊙A与⊙B内切时，直线l与⊙A交于点E₁、E₂，作E₁M⊥x轴于M．设⊙B与直线l相切于点D，连接BD，则BD⊥直线l，
在RtADB中，AB=5，BD=3，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵⊙A与⊙B内切，
∵AE₁=8，
∵∠MAE₁=∠DAB，∠E₁MA=∠BDA，
∴△AME₁∽△ADB，
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{{E}_{1}M}{BD}$=$\frac{A{E}_{1}}{AB}$，
∴$\frac{AM}{4}$=$\frac{{E}_{1}M}{3}$=$\frac{8}{5}$，
∴AM=$\frac{32}{5}$，E₁M=$\frac{24}{5}$，
∴OM=$\frac{42}{5}$，点E₁（-$\frac{42}{5}$，-$\frac{24}{5}$），
∵E₄与E₁关于点A对称，
∴E₄（$\frac{22}{5}$，-$\frac{24}{5}$）．
②当⊙A与⊙B外切时，⊙A与直线l交于点E₂、E₃，作E₂N⊥x轴于N．则AE₂=2，
由△ANE₂∽△ADB，可得$\frac{AN}{AD}$=$\frac{N{E}_{2}}{BD}$=$\frac{A{E}_{2}}{AB}$，
∴$\frac{AN}{4}$=$\frac{N{E}_{2}}{3}$=$\frac{2}{5}$，
∴AN=$\frac{8}{5}$，NE₂=$\frac{6}{5}$，ON=$\frac{18}{5}$，
∴E₂（-$\frac{18}{5}$，-$\frac{6}{5}$）．
∵E₂与E₃关于点A对称，
∴E₃（-$\frac{2}{5}$，$\frac{6}{5}$）．
综上所述，点E的坐标为（-$\frac{42}{5}$，-$\frac{24}{5}$）或（$\frac{22}{5}$，$\frac{24}{5}$）或（-$\frac{18}{5}$，-$\frac{6}{5}$）或（-$\frac{2}{5}$，$\frac{6}{5}$）．

点评 本题考查切线的性质、两圆的位置关系、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．