【题目】如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8.把△BCD沿对角线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点G;E、F分别是C′D和BD上的点,线段EF交AD于点H,把△FDE沿EF折叠,使点D落在D′处,点D′恰好与点A重合.
(1)求证:△ABG≌△C′DG;
(2)求tan∠ABG的值;
(3)求EF的长.
【答案】(1)证明见解析;(2),(3) .
【解析】
试题分析:(1)根据翻折变换的性质可知∠C=∠BAG=90°,C′D=AB=CD,∠AGB=∠DGC′,故可得出结论;
(2)由(1)可知GD=GB,故AG+GB=AD,设AG=x,则GB=8-x,在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长,进而得出tan∠ABG的值;
(3)由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD,故HD=AD=4,再根据tan∠ABG即可得出EH的长,同理可得HF是△ABD的中位线,故可得出HF的长,由EF=EH+HF即可得出结论.
试题解析:(1)∵△BDC′由△BDC翻折而成,
∴∠C=∠BAG=90°,C′D=AB=CD,∠AGB=∠DGC′,
∴∠ABG=∠ADE,
在△ABG与△C′DG中,
∵,
∴△ABG≌△C′DG(AAS);
(2)∵由(1)可知△ABG≌△C′DG,
∴GD=GB,
∴AG+GB=AD,
设AG=x,则GB=8-x,
在Rt△ABG中,
∵AB2+AG2=BG2,
即62+x2=(8-x)2,
解得x=,
∴tan∠ABG=;
(3)∵△AEF是△DEF翻折而成,
∴EF垂直平分AD,
∴HD=AD=4,
∴tan∠ABG=tan∠ADE=,
∴EH=HD×=4×=,
∵EF垂直平分AD,AB⊥AD,
∴HF是△ABD的中位线,
∴HF=AB=×6=3,
∴EF=EH+HF=+3=.
科目:初中数学 来源: 题型:
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