Question

如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠BAE：∠CAE=2：3，BD平分∠ABC，点F在BC上，∠CDF=30°，∠ABD=35°．
求证：DF⊥BC．

Answer 1

考点：平行线的判定与性质,垂线

专题：证明题

分析：根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠ABD，根据垂直的定义可得∠AEB=90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，再求出∠CAE，根据角的度数相等可得∠CDF=∠CAE，然后根据同位角相等，两直线平行可得DF∥AE，然后根据垂直于同一直线互相平行证明即可．

解答：证明：∵BD平分∠ABC，∠ABD=35°，
∴∠ABC=2∠ABD=70°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=20°，
又∵∠BAE：∠CAE=2：3，
∴∠CAE=30°，
又∵CDF=30°，
∴∠CAE=∠CDF，
∴DF∥AE，
∴DF⊥BC．

点评：本题考查了平行的判定与性质，垂线的性质，根据相等的度数求出相等的角，然后判断出平行线是解题的关键，也是本题的难点．