Question

16．如图，形状不变的一条抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于E点，其顶点P在线段CD上移动，线段CD的解析式y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{4}$（-1≤x≤3），当顶点P从C点移动到D点时，求E点走过的路径长度．

Answer 1

分析 设线段CD与y轴交点为F，分别求出P点位于C点和D点的抛物线解析式，进而求出抛物线与y轴的交点坐标，即可求出点P从C点到F点时和从F点到D点时E所走过的路径长度．

解答 解：设线段CD与y轴交点为F，
当顶点P位于C点时，
当x=-1，y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{4}$=1，即点C坐标为（-1，1），
此时抛物线解析式为y=-x²+2x，此时点B位于原点，
当点P移动到F点时，E点走过的路径长度为$\frac{7}{4}$，
点P移动到D点时，
当x=3时，y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{4}$=4，即点D的坐标为（3，4），
此时抛物线解析式为y=-x²+6x-5，此时点E位于y轴负半轴（0，-5），
此时E点走过的路径长度为$\frac{7}{4}$+5=$\frac{27}{4}$，
综上E点走过的路径长度为$\frac{7}{4}$+$\frac{27}{4}$=$\frac{17}{2}$．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是要分段讨论点E走路的路径，此题还要掌握二次函数的性质，此题有一定的难度．